1. এটা গোলকৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা যাৰ ব্যাসাৰ্ধ হৈছে
(i) 7 চে.মি.
(ii) 0.63 মি.
Solution:
(i) দিয়া আছে,
গোলকটোৰ-
ব্য়াসাৰ্ধ (r) = 7 চে.মি.
∴ গোলকটোৰ আয়তন
= 4/3 πr³
= 4/3 × 22/7 × 7 × 7 × 7
= 4/3 × 22 × 7 × 7
= 4312/3
= 1437.33 ঘন চে.মি.
(ii) দিয়া আছে,
গোলকটোৰ-
ব্য়াসাৰ্ধ (r) = 0.63 মি.
∴ গোলকটোৰ আয়তন
= 4/3 πr³
= 4/3 × 22/7 × 0.63 × 0.63 × 0.63
= 4 × 22 × 0.21 × 0.09 × 0.63
= 1.05 ঘন মি.
2. এটা গোটা গোলক আকৃতিৰ বলে অপসাৰিত কৰা পানীৰ পৰিমাণ নিৰ্ণয় কৰা যেতিয়া ইয়াৰ ব্যাস হ’ব-
(i) 28 চে.মি.
(ii) 0.21 মি.
Solution:
(i) দিয়া আছে,
গোটা গোলক আকৃতিৰ বলটোৰ-
ব্যাস = 28 চে.মি.
∴ ব্য়াসাৰ্ধ (r) = 28/2 চে.মি. = 14 চে.মি.
∴ বলটোৱে অপসাৰিত কৰা পানীৰ পৰিমাণ
= বলটোৰ আয়তন
= 4/3 πr³
= 4/3 × 22/7 × 14 × 14 × 14
= 4/3 × 22 × 2 × 14 × 14
= 34496.67 ঘন চে.মি.
(ii) দিয়া আছে,
গোটা গোলক আকৃতিৰ বলটোৰ-
ব্যাস = 0.21 মি.
∴ ব্য়াসাৰ্ধ (r) = 0.21/2 মি.
∴ বলটোৱে অপসাৰিত কৰা পানীৰ পৰিমাণ
= বলটোৰ আয়তন
= 4/3 πr³
= 4/3 × 22/7 × 0.21/2 × 0.21/2 × 0.21/2
= 11 × 0.07 × 0.03 × 0.21
= 0.004851 ঘন মি.
3. ধাতুৰে নিৰ্মিত বল এটাৰ ব্যাস 4.2 চে.মি.। যদি ধাতুবিধৰ ঘনত্ব প্ৰতি চে.মি.³ অত 8.9 গ্ৰাম, তেন্তে বলটোৰ ভৰ কিমান?
Solution:
দিয়া আছে,
ধাতুৰে নিৰ্মিত বল এটাৰ ব্যাস = 4.2 চে.মি.
∴ ব্য়াসাৰ্ধ (r) = 4.2/2 চে.মি. = 2.1 চে.মি.
∴ বলটোৰ আয়তন
= 4/3 πr³
= 4/3 × 22/7 × 2.1 × 2.1 × 2.1
= 4 × 22 × 0.7 × 0.3 × 2.1
= 38.808 ঘন চে.মি.
আকৌ,
ধাতুবিধৰ ঘনত্ব প্ৰতি চে.মি.³ ত = 8.9 গ্ৰাম
∴ 38.808 চে.মি.³ ত = 8.9 × 38.808 গ্ৰাম = 345.39 গ্ৰাম
∴ বলটোৰ ভৰ 345.39 গ্ৰাম।
4. চন্দ্ৰটোৰ ব্যাস, পৃথিৱীৰ ব্যাসৰ প্ৰায় এক-চতুৰ্থাংশ। পৃথিৱীৰ আয়তনৰ কিমান অংশ চন্দ্ৰটোৰ আয়তনৰ সমান হ’ব?
Solution:
ধৰাহল,
পৃথিৱীৰ ব্যাস = 2R
∴ পৃথিৱীৰ ব্যাসাৰ্ধ = R
∵ চন্দ্ৰটোৰ ব্যাস = পৃথিৱীৰ ব্যাসৰ প্ৰায় এক-চতুৰ্থাংশ
= 1/4 × 2R
= R/2
∴ চন্দ্ৰটোৰ ব্যাসাৰ্ধ = 1/2 × R/2 = R/4
∴ পৃথিৱীৰ আয়তন : চন্দ্ৰৰ আয়তন
= 4/3 πR³ : 4/3 π(R/4)³
= R³ : (R/4)³
= R³ : R³/4³
= 1 : 1/64
∴ পৃথিৱীৰ আয়তনৰ 1/64 অংশ চন্দ্ৰটোৰ আয়তনৰ সমান হ’ব।
5. 10.5 চে.মি. ব্যাসযুক্ত এটা অৰ্ধগোলাকাৰ বাটিত কিমান লিটাৰ গাখীৰ ধৰিব?
Solution:
দিয়া আছে,
অৰ্ধগোলাকাৰ বাটিটোৰ-
ব্যাস = 10.5 চে.মি.
∴ ব্য়াসাৰ্ধ (r) = 10.5/2 চে.মি. = 5.25 চে.মি.
∴ অৰ্ধগোলাকাৰ বাটিটোৰ আয়তন
= 2/3 πr³
= 2/3 × 22/7 × 5.25 × 5.25 × 5.25
= 2 × 22 × 1.75 × 0.75 × 5.25
= 303 ঘন চে.মি.(প্ৰায়)
= 303/1000 লিটাৰ
= 0.303 লিটাৰ
6. এটা অৰ্ধগোলাকাৰ টেংকি 1 চে.মি. ডাঠ লোৰ পাতেৰে তৈয়াৰী। যদি ভিতৰভাগৰ ব্যাসাৰ্ধ 1 মি., তেন্তে টেংকিটো সাজিবলৈ লগা লোৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।
Solution:
দিয়া আছে,
অৰ্ধগোলাকাৰ টেংকিটোৰ-
ভিতৰভাগৰ ব্যাসাৰ্ধ (r) = 1 মি.
ডাঠ = 1 চে.মি. = 1/100 মি. = 0.01 মি.
∴ বাহিৰভাগলৈ ব্যাসাৰ্ধ (R) = 1+0.01 মি. = 1.01 মি.
∴ টেংকিটো সাজিবলৈ লগা লোৰ আয়তন
= 2/3 πR³ – 2/3 πr³
= 2/3 π(R³ – r³)
= 2/3 × 22/7 [(1.01)³ – 1³]
= 2/3 × 22/7 [1.030301 – 1]
= 2/3 × 22/7 × 0.030301
= 0.06348 ঘন মি.
7. 154 চে.মি.² পৃষ্ঠকালিৰ এটা গোলকৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।
Solution:
ধৰাহল,
গোলকটোৰ ব্যাসাৰ্ধ = r
দিয়াআছে,
গোলকটোৰ পৃষ্ঠকালি = 154 চে.মি.²
⇒ 4πr² = 154
⇒ 4 × 22/7 × r² = 154
⇒ r² = 154 × 1/4 × 7/22
⇒ r² = 49/4
⇒ r = 7/2 চে.মি.
∴ গোলকটোৰ আয়তন
= 4/3 πr³
= 4/3 × 22/7 × 7/2 × 7/2 × 7/2
= 1/3 × 11 × 7 × 7
= 539/3
= 179.67 ঘন চে.মি.
8. এটা অট্টালিকাৰ গম্বুজটো অৰ্ধগোলাকাৰ। ইয়াৰ ভিতৰভাগত 498.96 টকা খৰচ কৰি চূণ লগোৱা হল। যদি প্ৰতি বৰ্গমিটাৰত চূণ লগোৱাৰ খৰচ 2.00 টকা হয়, তেন্তে তলৰকেইটা নিৰ্ণয় কৰা-
(i) গম্বুজটোৰ ভিতৰভাগৰ পৃষ্ঠকালি
(ii) গম্বুজটোৰ ভিতৰৰ বায়ুৰ আয়তন
Solution:
(i) দিয়াআছে,
2.00 টকাত চূণ লগাব পাৰি = 1 বৰ্গ মিটাৰ
∴ 498.96 টকাত চূণ লগাব পাৰি = 498.96/2 বৰ্গ মি. = 249.48 বৰ্গ মি.
∴ গম্বুজটোৰ ভিতৰভাগৰ পৃষ্ঠকালি = 249.48 বৰ্গ মি.
(ii) ∵ গম্বুজটোৰ ভিতৰৰ পৃষ্ঠৰ কালি = 249.48 বৰ্গ মি.
⇒ 2πr² = 249.48
⇒ 2 × 22/7 × r² = 249.48
⇒ r² = 249.48 × 1/2 × 7/22
⇒ r² = 39.69
⇒ r = 6.3 মি.
∴ গম্বুজটোৰ ভিতৰৰ বায়ুৰ আয়তন
= 2/3 πr³
= 2/3 × 22/7 × 6.3 × 6.3 × 6.3
= 2 × 22 × 2.1 × 0.9 × 6.3
= 523.9 ঘন মি.
9. প্ৰতিটোৰে ব্যাসাৰ্ধ r আৰু পৃষ্ঠকালি S থকা সাতাইশতা গোটা লোৰ গোলক গলাই আন এটা গোলক পোৱা গ’ল যাৰ পৃষ্ঠকালি S’ এতিয়া নিৰ্ণয় কৰা
(i) নতুন গোলকটোৰ ব্যাসাৰ্ধ r’
(ii) S আৰু S’ৰ অনুপাত।
Solution:
দিয়া আছে,
গোটা লোৰ গোলকটোৰ-
ব্যাসাৰ্ধ = r
∴ গোটা লোৰ গোলক এটাৰ আয়তন = 4/3 πr³
এনে সাতাইশটা লোৰ গোলকৰ আয়তন = 27 × 4/3 πr³ = 36πr³
(i) নতুন গোলকটোৰ ব্যাসাৰ্ধ = r’
নতুন গোলকটোৰ আয়তন = 4/3 π(r’)³
⇒ 4/3 π(r’)³ = 36πr³
⇒ (r’)³ = 36r³ × 3/4
⇒ (r’)³ = 27r³
⇒ (r’)³ = (3r)³
⇒ r’ = 3r
(ii) S আৰু S’ৰ অনুপাত
= 4πr² / 4π(r’)²
= r² / (r’)²
= r² / (3r)²
= r² / 9r²
= 1 / 9
= 1 : 9