1. এটা লম্ব বৃত্তাকাৰ শংকুৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা, যদিহে ইয়াৰ
(i) ব্যাসাৰ্ধ 6 চে.মি., উচ্চতা 7 চে.মি.
(ii) ব্যাসাৰ্ধ 3.5 চে.মি., উচ্চতা 12 চে.মি.
Solution:
(i) দিয়া আছে,
লম্ব বৃত্তাকাৰ শংকুটোৰ-
ব্য়াসাৰ্ধ (r) = 6 চে.মি.
উচ্চতা (h) = 7 চে.মি.
∴ শংকুটোৰ আয়তন
= 1/3 πr²h
= 1/3 × 22/7 × 6 × 6 × 7
= 22 × 2 × 6
= 264 ঘন চে.মি.
(ii) দিয়া আছে,
লম্ব বৃত্তাকাৰ শংকুটোৰ-
ব্য়াসাৰ্ধ (r) = 3.5 চে.মি.
উচ্চতা (h) = 12 চে.মি.
∴ শংকুটোৰ আয়তন
= 1/3 πr²h
= 1/3 × 22/7 × 3.5 × 3.5 × 12
= 22 × 0.5 × 3.5 × 4
= 154 ঘন চে.মি.
2. এটা শংকু আকাৰৰ পাত্ৰৰ ধাৰকত্ব লিটাৰত নিৰ্ণয় কৰা, যদিহে ইয়াৰ
(i) ব্যাসাৰ্ধ 7 চে.মি., নতি উচ্চতা 25 চে.মি.
(ii) উচ্চতা 12 চে.মি., নতি উচ্চতা 13 চে.মি.
Solution:
(i) দিয়া আছে,
শংকু আকাৰৰ পাত্ৰটোৰ-
ব্য়াসাৰ্ধ (r) = 7 চে.মি.
নতি উচ্চতা (l) = 25 চে.মি.
∴ উচ্চতা (h) = √(l² – r²) চে.মি.
= √(25² – 7²) চে.মি.
= √(625 – 49) চে.মি.
= √576 চে.মি.
= 24 চে.মি.
∴ পাত্ৰটোৰ আয়তন
= 1/3 πr²h
= 1/3 × 22/7 × 7 × 7 × 24
= 22 × 7 × 8
= 1232 ঘন চে.মি.
∴ পাত্ৰটোৰ ধাৰকত্ব = 1232÷1000 লিটাৰ = 1.232 লিটাৰ
(ii) দিয়া আছে,
শংকু আকাৰৰ পাত্ৰটোৰ-
উচ্চতা (h) = 12 চে.মি.
নতি উচ্চতা (l) = 13 চে.মি.
∴ ব্যাসাৰ্ধ (r) = √(l² – h²) চে.মি.
= √(13² – 12²) চে.মি.
= √(169 – 144) চে.মি.
= √25 চে.মি.
= 5 চে.মি.
∴ পাত্ৰটোৰ আয়তন
= 1/3 πr²h
= 1/3 × 22/7 × 5 × 5 × 12
= 22/7 × 25 × 4
= 2200/7
= 2200/7 ঘন চে.মি.
∴ পাত্ৰটোৰ ধাৰকত্ব = (2200/7)÷1000 লিটাৰ
= 2200/7000 লিটাৰ
= 22/70 লিটাৰ
= 11/35 লিটাৰ
3. এটা শংকুৰ উচ্চতা 15 চে.মি.। যদি ইয়াৰ আয়তন 1570 চে.মি.³ হয়, ইয়াৰ ভূমি ব্যাসাৰ্ধ নিৰ্ণয় কৰা। (π=3.14 ধৰিবা)
Solution:
ধৰাহ’ল,
শংকুটোৰ ভূমি ব্যাসাৰ্ধ r
দিয়া আছে,
এটা শংকুৰ উচ্চতা (h) = 15 চে. মি.
আয়তন = 1570 ঘন চে.মি.
⇒ 1/3 πr²h = 1570
⇒ 1/3 × 3.14 × r² × 15 = 1570
⇒ 3.14 × r² × 5 = 1570
⇒ 15.70 × r² = 1570
⇒ r² = 1570/15.70
⇒ r² = 100
⇒ r = 10 চে.মি.
∴ শংকুটোৰ ভূমি ব্যাসাৰ্ধ 10 চে.মি.।
4. 9 চে.মি. উচ্চতাৰ লম্ব বৃত্তাকাৰ শংকু এটাৰ আয়তন 48π চে.মি.³ হলে, ইয়াৰ ভূমিৰ ব্যাস নিৰ্ণয় কৰা।
Solution:
দিয়া আছে,
লম্ব বৃত্তাকাৰ শংকু এটাৰ-
উচ্চতা (h) = 9 চে.মি.
আয়তন = 48π ঘন চে.মি.
⇒ 1/3 πr²h = 48π
⇒ 1/3 × r² × 9 = 48
⇒ 3 × r² = 48
⇒ r² = 16
⇒ r = 4 চে.মি.
∴ ভূমিৰ ব্যাস = 2r = 2 × 4 চে.মি. = 8 চে.মি.
5. এটা শংকু আকাৰৰ গাঁতৰ উপৰিভাগৰ ব্যাস 3.5 মি. আৰু ইয়াৰ গভীৰতা 12 মি.। ইয়াৰ ধাৰকত্ব কিলোলিটাৰত কিমান হ’ব?
Solution:
দিয়া আছে,
শংকু আকাৰৰ গাঁতটোৰ উপৰিভাগৰ-
ব্যাস = 3.5 মি.
∴ ব্য়াসাৰ্ধ (r) = 3.5/2 চে.মি.
গভীৰতা (h) = 12 মি.
∴ গাঁতটোৰ আয়তন
= 1/3 πr²h
= 1/3 × 22/7 × 3.5/2 × 3.5/2 × 12
= 22 × 0.5 × 3.5
= 11 × 3.5
= 38.5 ঘন মি.
∵ 1 ঘন মি. = 1 কিলোলিটাৰ
∴ 38.5 ঘন মি. = 38.5 কিলোলিটাৰ
অৰ্থাৎ,
গাঁতটোৰ ধাৰকত্ব 38.5 কিলোলিটাৰ।
6. এটা লম্ব বৃত্তাকাৰ শংকুৰ আয়তন 9856 চে.মি.³। ভূমিৰ ব্যাস 28 চে.মি. হ’লে, তলৰবোৰ নিৰ্ণয় কৰাঃ
(i) শংকুৰ উচ্চতা
(ii) শংকুটোৰ নতি উচ্চতা
(iii) শংকুটোৰ বক্ৰ পৃষ্ঠকালি।
Solution:
দিয়া আছে,
শংকুৰটোৰ-
ভূমিৰ ব্যাস = 28 চে.মি.
∴ ব্যাসাৰ্ধ (r) = 28/2 চে.মি. = 14 চে.মি.
(i) শংকুৰ আয়তন = 9856 চে.মি.³
⇒ ¹⁄₃ πr²h = 9856
⇒ 1/3 × 22/7 × 14 × 14 × h = 9856
⇒ 616/3 × h = 9856
⇒ h = 9856 × 3/616
⇒ h = 48 চে.মি.
∴ শংকুৰ উচ্চতা = 48 চে.মি.
(ii) শংকুটোৰ নতি উচ্চতা (l) = √(h² + r²)
= √(48² + 14²)
= √(2304 + 196)
= √2500
= 50 চে.মি.
(iii) শংকুটোৰ বক্ৰ পৃষ্ঠকালি
= πrl
= 22/7 × 14 × 50
= 22 × 2 × 50
= 22 × 100
= 2200 বৰ্গ চে.মি.
7. 5 চে.মি., 12 চে.মি. আৰু 13 চে.মি. বাহু বিশিষ্ট এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ ABCক 12 চে.মি. বাহুটোৰ সাপেক্ষে ঘূৰোৱা হ’ল। এনে কৰোতে উৎপন্ন হোৱা গোটা আকাৰটোৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।
Solution:
এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ ABCক 12 চে.মি. বাহুটোৰ সাপেক্ষে ঘূৰালে-
উৎপন্ন হোৱা গোটা আকাৰটোৰ-
উচ্চতা (h) = 12 চে.মি.
ব্যাসাৰ্ধ (r) = 5 চে.মি.
নতি উচ্চতা (l) = 13 চে.মি.
∴ আয়তন = ¹⁄₃ πr²h
= 1/3 × π × 5 × 5 × 12
= 100π ঘন চে.মি.
8. প্ৰশ্ন নং 7অত উল্লেখ কৰা ABC ত্ৰিভুজটো 5 চে.মি. বাহুটোৰ সাপেক্ষে ঘূৰালে ই উৎপন্ন কৰা গোটা আকাৰটোৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা। প্ৰশ্ন নং 7 আৰু 8অত পোৱা গোটা আকাৰ দুটাৰ আয়তনৰ অনুপাতো লগতে নিৰ্ণয় কৰিবা।
Solution:
ABC ত্ৰিভুজটো 5 চে.মি. বাহুটোৰ সাপেক্ষে ঘূৰালে-
উৎপন্ন হোৱা গোটা আকাৰটোৰ-
উচ্চতা (h) = 5 চে.মি.
ব্যাসাৰ্ধ (r) = 12 চে.মি.
নতি উচ্চতা (l) = 13 চে.মি.
∴ আয়তন = ¹⁄₃ πr²h
= 1/3 × π × 12 × 12 × 5
= 240π ঘন চে.মি.
এতিয়া,
প্ৰশ্ন নং 7 আৰু 8অত পোৱা গোটা আকাৰ দুটাৰ আয়তনৰ অনুপাত
= 100π : 240π
= 5 : 12
9. এটা ঘেহুঁৰ দ’মৰ আকাৰটো এটা শংকুৰ নিচিনা যাৰ ব্যাস 10.5 মি. আৰু উচ্চতা 3 মি.। দ’মটোৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা। বৰষুণৰ পৰা ৰক্ষা কৰিবলৈ এই দ’মটো কেন্ভাচেৰে ঢাকিব লাগে। ইয়াৰ বাবে লগা নূন্যতম কেন্ভাচৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
Solution:
দিয়া আছে,
ঘেহুঁৰ দ’মটোৰ-
ব্যাস = 10.5 মি.
∴ ব্যাসাৰ্ধ (r) = 10.5/2 মি. = 5.25 মি.
উচ্চতা (h) = 3 মি.
∴ দ’মটোৰ আয়তন
= ¹⁄₃ πr²h
= 1/3 × 22/7 × 5.25 × 5.25 × 3
= 86.625 ঘন মি.
আকৌ,
দ’মটোৰ নতি উচ্চতা (l) = √(h² + r²)
= √(3² + 5.25²)
= √(9 + 27.5625)
= √36.5625
= 6.05 মি.
∴ দ’মটোৰ বক্ৰ পৃষ্ঠকালি
= πrl
= 22/7 × 5.25 × 6.05
= 99.825 ঘন মি.
∴দ’মটো কেন্ভাচেৰে ঢাকিবৰ বাবে লগা নূন্যতম কেন্ভাচৰ কালি 99.825 ঘন মি.।