বাস্তৱ সংখ্যা
অনুশীলনী: 1.1
১) ইউক্লিডৰ কলনবিধি ব্যৱহাৰ কৰি গ.সা.উ উলিওৱা-
(i) 135 আৰু 225 (ii) 196 আৰু 38220 (iii) 867 আৰু 225
Solution :
(i) 225 > 135
ইউক্লিডৰ কলনবিধি ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ,
225 = 135 * 1 + 90
135 = 90 * 1 + 45
90 = 45 * 2 + 0
এই পৰ্যায়ত ভাগশেষ 0 আৰু ভাজক 45
∴ গ.সা.উ (135, 225) = 45
(ii) 38220 > 196
ইউক্লিডৰ কলনবিধি প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,
38220 = 196 * 195 + 0
এই পৰ্যায়ত ভাগশেষ 0 আৰু ভাজক 196
∴ গ.সা.উ (196,38220) = 196
(iii) 867 > 255
ইউক্লিডৰ কলনবিধি প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,
867 = 255 * 3 +102
255 = 102 * 2 +51
102 = 51 * 2 + 0
এই পৰ্যায়ত ভাগশেষ 00 আৰু ভাজক 51
∴ গ.সা.উ (255,867) = 51
২) দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যাই 6q + 1 বা 6q + 3 বা 6q + 5 আৰ্হিৰ, য’ত q এটা কোনোৱা অখণ্ড।
Soln: ধৰাহ’ল a যিকোনো যোগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা আৰু b=6
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়ক মতে,
a=6q+r, [ য’ত 0 ≤ r < 6 আৰু q এটা অখণ্ড সংখ্যা ]
∴ r=0 হ’লে, a = 6q = 2 * 3q, যিটো যুগ্ম
r=1 হ’লে, a = 6q+1, যিটো অযুগ্ম
r=2 হ’লে, a = 6q+2 = 2 * (3q+1), যিটো যুগ্ম
r=3 হ’লে, a = 6q+3, যিটো অযুগ্ম
r=4 হ’লে, a = 6q+4 = 2 * (3q+2), যিটো অযুগ্ম
r=5 হ’লে, a = 6q+5, যিটো অযুগ্ম
যিহেতু a যুগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা গতিকে,
a = 6q+1 বা 6q+3 বা 6q+5
∴ যিকোনো যুগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যাই 6q+1 বা 6q+3 বা 6q+5 আৰ্হিৰ।
৩) 616 সদস্যৰ এটা সৈন্যবাহিনীৰ গোটে 32 জনীয়া এটা সেনাদলৰ পিছে পিছে কদম-খোজ কাঢ়ি কাঢ়ি যাৱলগীয়া হ’ল। দুয়োটা দলেই একে সমান সংখ্যক স্তম্ভত কদম-খোজ কাঢ়িৱলগীয়া হ’ল। তেওঁলোকে খোজ কাঢ়িৱলগীয়া স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা কি হ’ৱ?
Soln: 616 আৰু 32 ৰ গ.সা.উ এই হ’ৱ তেওঁলোকে কাঢ়িৱলগীয়া স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা।
এতিয়া, 616 > 32
ইউক্লিডৰ কলনবিধি প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,
616 = 32 * 19 + 8
32 = 8 * 4 + 0
এই পৰ্যায়ত ভাগশেষ 0 আৰু ভাজক 8
∴ গ.সা.উ (32,616) = 8
∴ তেওঁলোকে খোজ কাঢ়িৱলগীয়া স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা হ’ৱ 8.
৪) ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গই হয় 3m বা 3m+1 আৰ্হিৰ, য’ত m এটা কোনোৱা অখণ্ড সংখ্যা।
[ইংগিত: ধৰা x এটা যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা। তেন্তে ইয়াৰ আৰ্হি হ’ৱ 3q, 3q+1 বা 3q+2 এতিয়া ইহঁতৰ প্ৰতিটোকেবৰ্গ কৰা আৰু দেখুওৱা যে সিহঁতক 3m বা 3m+1 আৰ্হিত লিখিৱ পাৰি। ]
Soln: ধৰাহ’ল a যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা। গতিকে ইয়াৰ আৰ্হি হ’ৱ 3q বা 3q+1 বা 3q+2
প্ৰথম ক্ষেত্ৰত:
a = 3q
⇒ a2 = (3q)2 = 9q2 = 3*3q2 = 3m, য’ত m=3q2
দ্বিতীয় ক্ষেত্ৰত:
a = 3q+1
⇒ a2 = (3q+1)2
= (3q)2 + 2*3q*1 + 12
= 9q2 + 6q + 1
= 3q (3q+2) + 1
= 3m+1, য’ত m= q (3q+2)
তৃতীয় ক্ষেত্ৰত:
a = 3q+2
⇒ a2 = (3q+2)2
= (3q)2 + 2*3q*2 + 22
= 9q2 + 12q + 4
= 9q2 + 12q + 3 + 1
= 3 (3q2 + 4q + 1) + 1
= 3m+1, য’ত m= 3q2 + 4q + 1
∴ দেখাগ’ল যে, যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গই 3m নাইবা 3m+1 আৰ্হিৰ, য’ত m এটা কোনোৱা অখণ্ড সংখ্যা।
৫) ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যি কোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফলটো 9m, 9m+1 নাইবা 9m+2 আৰ্হিৰ।
Soln: ধৰাহ’ল a এটা যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা।
গতিকে ইয়াৰ আৰ্হি হ’ৱ 3q, 3q+1, বা 3q+2
প্ৰথম ক্ষেত্ৰত:
a = 3q
⇒ a3 = (3q)3 = 27q3 = 9 * 3q3 = 9m, য’ত m= 3q3
দ্বিতীয় ক্ষেত্ৰত:
a= 3q
⇒ a3 = (3q+1)3
= (3q)3 + 3.(3q)2.1 + 3.3q.12 + 13
= 27q3 + 27q2 + 3q + 1
= 9q (3q2+3q+1) + 1
= 9m+1, য’ত m= q (3q2+3q+1)
তৃতীয় ক্ষেত্ৰত:
a = 3q+2
⇒ a3 = (3q+2)3
= (3q)3 + 3.(3q)2.2 + 3.3q.22 + 23
= 27q3 + 54q2 + 36q + 8
= 9q (3q2+6q+4) + 8
= 9m+8, য’ত m= q (3q2+6q+4)
∴ যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফলটো 9m, 9m+1 নাইবা 9m+8 আৰ্হিৰ ।
অনুশীলনী: 1.2
১) প্ৰতিটো সংখ্যাকে ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰা:
(i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429
Soln:
(i) 140 ÷ 2 = 70
70 ÷ 2 = 35
35 ÷ 5 = 7
∴ 140 = 2*2*5*7 = 22 5 7
(ii) 156 ÷ 2 = 78
78 ÷ 2 = 39
39 ÷ 3 = 13
∴ 156 = 2*2*3*13 = 22*3*13
(iii) 3825 ÷ 3 = 1275
1275 ÷ 3 = 425
425 ÷ 5 = 85
85 ÷ 5 = 17
∴ 3825 = 3*3*5*5*17 = 32 52 17
(iv) 5005 ÷ 5 = 1001
1001 ÷ 7 = 143
143 ÷ 11 = 13
∴ 5005 = 5*7*11*13
২) তলৰ অখণ্ড সংখ্যা কেইযোৰৰ ল.সা.গু আৰু গ.সা.উ উলিওৱা । সত্যাপন কৰা যে ল.সা.গু * গ.সা.উ = সংখ্যা দুটাৰ গুণফল ।
(i) 26 আৰ 91 (ii) 510 আৰু 92 (iii) 336 আৰু 54
Soln:
(i) 26 ÷ 2 = 13
13 ÷ 1 = 13 [ এই শাৰীটো কেৱল বুজাৱলৈ হে দেখুওৱা হৈছে ]
আকৌ,
91 ÷ 7 = 13 [13 আৰু ভাগ কৰিৱ নোৱাৰি]
∴ 26 = 2*13
91 = 7*13
∴গ.সা.উ (26,91) = 13
ল.সা.গু (26,91) = 2*7*13 = 182
সত্যাপন:
ল.সা.গু গ.সা.উ = 18213 = 2366
সংখ্যাদুটাৰ পূৰণফল = 26*13 = 2366
∴ ল.সা.গু * গ.সা.উ = সংখ্যাদুটাৰ পূৰণফল
(ii) 510 ÷ 2 = 255
255 ÷ 3 = 85
85 ÷ 5 = 17
আকৌ, 92 ÷ 2 = 46
46 ÷ 2 = 23
∴ 510 = 2*3*5*17
92 = 22*23
∴ গ.সা.উ (510,92)= 2
ল.সা.গু (510,92)= 22*3*5*17*23
= 23460
সত্যাপন:
ল.সা.গু গ.সা.উ = 223460 = 46920
সংখ্যাদুটাৰ পূৰণফল = 510*92 = 46920
∴ ল.সা.গু*গ.সা.উ = সংখ্যাদুটাৰ পূৰণফল
(iii) 336 ÷ 2 = 168
168 ÷ 2 = 84
84 ÷ 2 = 42
42 ÷ 2 = 21
21 ÷ 3 = 7
আকৌ, 54 ÷ 2 = 27
27 ÷ 3 = 9
9 ÷ 3 = 3
∴ 336 = 24 × 3 × 7
54 = 2 × 33
∴ গ.সা.উ(336,54)= 2×3 = 6
ল.সা.গু (336,54) = 24×33×7 = 16×27×7 = 3024
সত্যাপন:
ল.সা.গু×গ.সা.উ = 3024×6 = 18144
সংখ্যাদুটাৰ পূৰণফল = 336×54 = 18144
∴ ল.সা.গু×গ.সা.উ = সংখ্যাদুটাৰ পূৰণফল
৩) মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ অখণ্ড সংখ্যাবোৰৰ ল.সা.গু আৰু গ.সা.উ উলিওৱা ।
(i) 12,15, আৰু 21 (ii) 17,23 আৰু 29 (iii) 8,9 আৰু 25
Soln:
(i) 12,15 আৰু 21
12= 2 2 3 = 22 * 3
15= 3 * 5
21 = 3 * 7
∴ গ.সা.উ (12,15,21) = 3
ল.সা.গু (12,15,21) = 22 3 5 * 7
= 420
(ii) 17,23 আৰু 29
গ.সা.উ (17,23,29) = 1
ল.সা.গু (17,23,29) = 17×23×29 = 11339
(iii) 8,9 আৰু 25
8 ÷ 2 = 4
4 ÷ 2 = 2
∴ 8 = 2×2×2 = 23
আকৌ,
9 ÷ 3 = 3
∴ 9 = 3×3 = 32
আকৌ,
25 ÷ 5 = 5
∴ 25 = 5×5 = 52
∴ গ.সা.উ (8,9,25) = 1
ল.সা.গু (8,9,25) = 23×32×52 = 1800
৪) দিয়া আছে গ.সা.উ. (306,657) = 9 । ল.সা.গু. (306,657) উলিওৱা ।
Soln: আমি জানো,
ল.সা.গু. = সংখ্যাদুটাৰ পূৰণফল / গ.সা.উ.
= 306 * 657 / 9
= 201042 / 9
= 22338
∴ ল.সা.গু (306,657) = 22338
৫) পৰীক্ষা কৰা, কোনোবা স্বাভাৱিক সংখ্যা n অৰ ক্ষেত্ৰত 6n সংখ্যাটো 0 অংকেৰে শেষ হ’ৱ পাৰেনে নাই ।
Soln: কোনো এটা সংখ্যা ‘0’ অংকেৰে শেষ হ’ৱলৈ হ’লে সংখ্যাটোৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণত 5 সংখ্যাটো মৌলিক উৎপাদক হিচাপে থাকিৱ লাগিৱ ।
কিন্তু, 6n = (2 * 3)n
ইয়াত 6n ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণত 5 সংখ্যাটো মৌলিক উৎপাদক হিচাপে নাই ।
∴ 6n সংখ্যাটো [ n ∈ N ] ‘0’ অংকেৰে শৱষ হ’ৱ নোৱাৰে ।
৬) 7 11 13 + 13 আৰু 7 6 5 4 3 2 1 + 5 সংখ্যা দুটা কিয় যৌগিক সংখ্যা, ব্যাখ্যা কৰা।
Soln:
7 11 13 + 13
= 13 (77+1) [যোগ চিনৰ দুয়োফালৰ পৰা 13 common লোৱা হৈছে ]
= 13 * 78
∴ 7 11 13 + 13 এটা যৌগিক সংখ্যা । কাৰণ, ইয়াৰ 1 আৰু উক্ত সংখ্যাটোৰ বাহিৰেও অন্য উৎপাদক আছে ।
7 6 5 4 3 2 1 + 5
= 5 (7*6*4*3*2*1 + 1) [যোগ চিনৰ দুয়োফালৰ পৰা 5 common লোৱা হৈছে ]
= 5 (1008 + 1)
= 5 * 1009
∴ 7 6 5 4 3 2 1 + 5 এটা যৌগিক সংখ্যা । কাৰণ, ইয়াৰ 1 আৰু উক্ত সংখ্যাটোৰ বাহিৰেও অন্য উৎপাদক আছে ।
৭) এখন খেল পথাৰৰ চাৰিওপিনে এটা বৃত্তকাৰ পথ । খেল পথাৰখন গাড়ীৰে এবাৰ ঘূৰিৱলৈ ছোনিয়াৰ 18 মিনিট লাগে, য’ত একেটা ঘূৰণতে ৰবিৰ লাগে 12 মিনিট । ধৰা তেওঁলোকে একেটা বিন্দুতে একে সময়তে আৰু একেটা দিশত যাত্ৰা আৰম্ভ কৰে । কিমান মিনিট পিছত তেওঁলোকে আকৌ আৰম্ভণিৰ বিন্দুটোত লগ লাগিৱ?
Soln: বৃত্তকাৰ খেলপথাৰখন গাড়ীৰে এপাক ঘূৰিৱলৈ ছোনিয়াৰ লাগে = 18 মিনিট
আকৌ, ৰবিৰ লাগে = 12 মিনিট
∴ 18 আৰু 12 ৰ ল.সা.গু য়েই হ’ৱ নিৰ্ণেয় সময় ।
12 = 22 * 3
18 = 2 * 32
∴ ল.সা.গু. (12,18) = 22 * 32
= 4 * 9
= 36
∴ তেওঁলোকে 36 মিনিট পিছত আৰম্ভণিৰ বিন্দুটোত লগ-লাগিৱ ।
অনুশীলনী: 1.3
১) দেখুওৱা যে √5 অপৰিমেয় ।
Soln: যদি সম্ভৱ ধৰাহ’ল, √5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
∴ √5 = p ÷ q [য’ত p,q অখণ্ড সংখ্যা (q≠0) লগতে p,q সহমৌলিক ]
⇒ p = √5q
⇒ p2 = 5q2
ইয়াত 5q2, 5 ৰে বিভাজ্য ।
∴ p2, 5 ৰে বিভাজ্য ।
∴ p, 5 ৰে বিভাজ্য ।
আকৌ ধৰাহ’ল,
P = 5m, m এটা কোনোৱা অখণ্ড সংখ্যা ।
⇒ P2 = 25m2
⇒ 5q2 = 25m2 [∵ p2=5q2]
⇒ q2 = 5m2
ইয়াত 5m2, 5 ৰে বিভাজ্য ।
∴ q2, 5 ৰে বিভাজ্য ।
∴ q, 5 ৰে বিভাজ্য ।
দেখাগ’ল যে, p আৰু q ৰ 5 এটা সাধাৰণ উৎপাদক ।
কিন্তু আমি আৰম্ভণিতে p,q সহমৌলিক বুলি ধৰিছো । ইয়ে আমাৰ যুক্তিটোৰ বিৰুদ্ধাচৰণ কৰিছে।
গতিকে √5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা নহয় । ই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা ।
২) দেখুওৱা যে 3+2√5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
Soln: যদি সম্ভৱ ধৰাহ’ল, 3+2√5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
∴ 3+2√5 = p ÷ q [য’ত p,q অখণ্ড সংখ্যা (q≠0) লগতে p,q সহমৌলিক ]
⇒ 2√5 = p/q – 3
⇒ 2√5 = (p-3q)/q
⇒ √5 = (p-3q)/2q
∵ p,q অখণ্ড সংখ্যা, গতিকে (p-3q)/2q এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
কিন্তু আমি জানো যে, √5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা ।
∴ বাওঁফাল = √5 = অপৰিমেয়
সোঁফাল = (p-3q)/2q = পৰিমেয়
অৰ্থাৎ, বাওঁফাল(অপৰিমেয়)=সোঁফাল(পৰিমেয়); এইটো কেতিয়াওঁ সম্ভৱ নহয় ।
গতিকে, 3+2√5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা নহয়, ই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা ।
৩) দেখুওৱা যে তলৰ সংখ্যাবোৰ অপৰিমেয় :
(i) 1÷√2 (ii) 7√5 (iii) 6+√2
Soln:
(i)যদি সম্ভৱ ধৰাহ’ল, 1÷√2 এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
∴ 1÷√2 = p÷q [ য’ত p,q অখণ্ড সংখ্যা (q≠0) লগতে p,q সহমৌলিক ]
⇒ √2p = q
⇒ √2 = q/p
∵ p,q অখণ্ড সংখ্যা, গতিকে p/q এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
কিন্তু আমি জানো, √2 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা ।
গতিকে, বাঁওফাল (অপৰিমেয়) = সোঁফাল (পৰিমেয়); এইটো সম্ভৱ নহয়
∴ আমি সিদ্ধান্তত উপনীত হ’লো যে, 1/√2 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা ।
(ii) যদি সম্ভৱ ধৰাহ’ল, 7√5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
∴ 7√5 = p÷q [ য’ত p,q অখণ্ড সংখ্যা (q≠0) লগতে p,q সহমৌলিক ]
⇒ √5 = p/7q
∵ p,q অখণ্ড সংখ্যা, গতিকে p/7q এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
কিন্তু আমি জানো √5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা ।
গতিকে, বাঁওফাল (অপৰিমেয়) = সোঁফাল (পৰিমেয়); এইটো কেতিয়াও সম্ভৱ নহয়
গতিকে, 7√5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা নহয়, ই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা ।
(iii) যদি সম্ভৱ ধৰাহ’ল, 6+√2 এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
∴ 6+√2 = p÷q [ য’ত p,q অখণ্ড সংখ্যা (q≠0) লগতে p,q সহমৌলিক ]
⇒ √2 = p/q – 6
⇒ √2 = (p-6q)/q
∵ p,q অখণ্ড সংখ্যা, গতিকে (p-6q)/q এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
কিন্তু আমি জানো √2 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা ।
গতিকে, বাঁওফাল (অপৰিমেয়) = সোঁফাল (পৰিমেয়); এইটো কেতিয়াও সম্ভৱ নহয়
গতিকে, 6+√2 এটা পৰিমেয় সংখ্যা নহয়, ই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা ।
অনুশীলনী: 1.4
১) দীৰ্ঘ হৰণ নকৰাককৈ তলত উল্লেখ কৰা পৰিমেয় সংখ্যাবোৰৰ কোনবোৰৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত (সাবধি) নাইবা কোনবোৰৰ পৌন:পুনিক দশমিক বিস্তৃতি থাকিৱ বৰ্ণনা কৰা:
(I) 13/3125 (ii) 17/8 (iii) 64/455 (iv) 15/1600 (v) 29/343
(vi) 23/23.52 (vii) 129/(22.57.75) (viii) 6/15 (ix) 35/50
(x) 77/210
Soln:
(i) 13/3125 = 13/53 = 13/ (20 * 55)
ইয়াত হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণটো 2n.5m আৰ্হিৰ ।
∴ 13/3125 ৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত ।
(ii) 17/8 = 17 / 23 = 17 / (23.50)
ইয়াত হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণটো 2n.5m আৰ্হিৰ ।
∴ 17/8 ৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত ।
(iii) 64/455 = 64 / (5*7*13)
∵ হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণটো 2n.5m আৰ্হিৰ নহয় ।
গতিকে, 64/455 ৰ দশমিক বিস্তৃতি নিৰবধি পৌন:পুনিক হ’ৱ ।
(iv) 15/1600 = 15 / (26*52)
∵ হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণটো 2n.5m আৰ্হিৰ ।
গতিকে, 15/1600 ৰ দশমিক বিস্তৃতি সাবধি বা পৰিসমাপ্ত।
(v) 29/343 = 29 / 73
∵ হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণটো 2n.5m আৰ্হিৰ নহয় ।
গতিকে, 29/343 ৰ দশমিক বিস্তৃতি নিৰবধি পৌন:পুনিক হ’ৱ ।
(vi) 23/(23.52)
ইয়াত হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণটো 2n.5m আৰ্হিৰ ।
গতিকে, 23/(23.52) ৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত ।
(vii) 129/(22.57.75)
∵ হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণটো 2n.5m আৰ্হিৰ নহয় ।
গতিকে, 129/(22.57.75) ৰ দশমিক বিস্তৃতি নিৰবধি পৌন:পুনিক হ’ৱ ।
(viii) 6/15 = 6 / (3*5)
যিহেতু, হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণটো 2n.5m আৰ্হিৰ নহয় ।
গতিকে, 129/(22.57.75) ৰ দশমিক বিস্তৃতি নিৰবধি পৌন:পুনিক হ’ৱ ।
(ix) 35/50 = 35 / (21*52)
∵ হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণটো 2n.5m আৰ্হিৰ ।
গতিকে, 35/50 ৰ দশমিক বিস্তৃতি সাবধি বা পৰিসমাপ্ত।
(x) 77/210 = 77 / (2*3*5*7)
যিহেতু, হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণটো 2n.5m আৰ্হিৰ নহয় ।
গতিকে, 77/210 ৰ দশমিক বিস্তৃতি নিৰবধি পৌন:পুনিক ।
২) ওপৰৰ প্ৰশ্ন -1 অত যিবোৰ ’ৰিমেয় সংখ্যাৰ পৰিসমাপ্ত দশমিক বিস্তৃতি আছে সেইবোৰৰ দশমিক বিস্তৃতিবোৰ লিখি দেখুওৱা ।
Soln:
13/3125 = 13/ 55 = (13 25) / (25 55) = 416/105 = 0.00416
17/8 = 17/23 = (17*53) / (23 * 53) = 2125/103 = 2.125
15/1600 = 15/ (26 52) = (15 54) / (26 * 56) = 9375/106 = 0.009375
23/(23 52) = (235) / (23 * 53) = 115 / 103 = 0.115
35/50 = 35 / (2 52) = (352) / (22 * 52) = 70/102 = 0.7
৩) তলৰ বাস্তৱ সংখ্যাবোৰৰ ইয়াত দেখুওৱা ধৰণে দশমিক বিস্তৃতি আছে। প্ৰতিটোৰে ক্ষেত্ৰত ই এটা পৰিমেয় হয়নে নহয় সিদ্ধান্ত কৰা। যদি ই পৰিমেয় আৰু ই p/q আৰ্হিৰ, তেন্তে ইয়াৰ q ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণ বিষয়ে কি ক’ৱ পাৰিবা।
(i) 43.123456789 (ii) 0.120120012000120000… (iii) 43. 123456789123456789123456789…..
Soln:
(i) 43.123456789 = 43123456789 / 109
= 43123456789 / 29 * 59
∵ সংখ্যাটোৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত, গতিকে ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
ই p/q আৰ্হিত আছে, য’ত q = 2n * 5m আৰ্হিৰ ।
(ii) 0.120120012000120000…
ই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা ।
(iii) 43. 123456789123456789123456789…..
ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা । গতিকে ই p/q আৰ্হিৰ। ইয়াৰ দশমিক বিস্তৃতি নিৰবধি পৌন:পুনিক। ইয়াত q ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণটো 2n * 5m আৰ্হিৰ নহয়।